年率の計算/換算方法 – 算術平均との違いは? | 投資信託

年率の計算/換算方法 - 算術平均との違いは? | 投資信託
以下の記事では「騰落率とトータルリターンの値が異なる理由」を紹介しました。 その記事のなかで、例として、分配金のないファンドの同一区間で
・3年間騰落率=+33.66%
・3年間トータルリターン=+10.97%
と値が異なっている理由として、「年率」表記であることを紹介しました。


では、この記事では「年率とは何なのか?」および「換算式とその理由」を紹介したいと思います。
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年率とは何なのか?

年率とは、「ある期間の増減率を1年間の増減率に換算したもの」です。

冒頭の例ですと、「3年間で+36.66%であるときは、1年間あたり+10.97%であった」となりまます。


この後では、換算式やその式になる理由を紹介します。

算術平均とは違います!!

ちなみに、一般的な平均(厳密には算術平均)とは値が異なるので注意が必要です。

実際に36.66/3を計算すると12.22となり、10.97とは異なりますね。

この算術平均と異なる理由もこの後を見れば分かりますよ!!
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年率に換算する数式

N年間の増減率がX%であるときの年率Y%は以下の数式で計算できます。
Y = [(1+X/100)^(1/N) -1] x 100

※ここで” ^ “は累乗です。例えば、”^1/3″であれば3乗根となります。

冒頭の3年間騰落率/トータルリターンの例で実際に計算をしてみると、
(1+36.66/100)^(1/3) = 1.1097となり、年率=10.97%とトータルリターンの値と一致していることが分かります。

以降では、なぜこの式になるか?を紹介したいと思います。
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投資信託のリターンは複利で増えていく

さきほどの式を理解するためには、投資信託のリターンは複利で増えていくことを理解する必要があります。

投資商品のリターンの増え方には単利と複利の2種類があります。

単利でリターンが増える例

単利とは投資開始額に対する割合のリターンを得られるものを指します。
メジャーな例で言えば、国債があります。

例として5年利回り2%の国債を100万円購入し、5年間運用した場合を考えましょう。
その際のリターンの様子は下図のようになります。
単利でリターンが増える例


毎年、投資開始額100万円の2%である2万円をリターンとして得て、
5年後の資産は110.00万円になっています。

複利でリターンが増える例

一方で投資信託は複利でリターンが増えます
複利とは現在の投資資産時価に対する割合でリターンが得られるものを指します。

例として、利回り2%(※)で100万円を5年間運用したときの例を考えましょう。
(※…実際は株式等の価格は増減するので利回りは一定ではありませんが、ここでは問題を単純にするために一定とします)

その際のリターンの様子は下図のようになります。
複利でリターンが増える例

複利の場合は5年後の資産は110.41万円になっています。
これは毎年、前年のリターンを含めた時価に対してリターンが発生するためです。

このように、複利の場合は毎年の時価に対する割合でリターンを得ることができるため、
結果として単利よりも大きなリターンを得ることができます。

複利は時間をかければかけるほど莫大な利益を得られる!

補足です。

上記のグラフからも分かるように複利のリターンは曲線的(指数関数的)に増加するため、
時間をかければかけるほど莫大な利益を得ることができます。

単利で資産を倍にするのは不可能に近いですが、複利では決して不可能ではありません。

ちなみに、このページの末尾に「資産を倍にするのには何年かかるか?」という記事へのリンクを貼っておきましたので、よろしければご覧ください!
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換算式の導出

では、複利を理解したところで年率換算式を導出してみましょう。
※数式が苦手な方は飛ばしてしまっても良いですよ!!

A円の投資信託を年率Y%で1年間運用したときの資産額はA x (1+Y/100) 円ですね。
続いて2年間運用したときの資産額はA x (1+Y/100)^2 円です。
同様に年率Y%でN年間運用したときの資産額がA x (1+Y/100)^N 円となります。

よって、N年後の資産の増加量は元がA円だったので、
A x (1+Y/100)^N – A = A[(1+Y/100)^N-1] 円となります。

故に、N年後の騰落率X%はもともとの資産開始額A円で割って
X = A[(1+Y/100)^N-1] / A x 100
となります(x 100はパーセントになおすため)。

これをYについて解くと、前述の年率換算式を得ます。
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まとめ

ここまでで、年率の意味と換算式の理由を紹介しました。

色々と式が出てきて難しかったかもしれませんが、重要なのは以下です。
  • 投資信託のリターンは複利で増えていく
  • 年率は複利の考えである期間の増減率を1年あたりにしたもの
たったこれだけです。

ここまでは年率の算出ばかりやってきましたが、年率のことをちゃんと理解すれば、
逆に資産が倍になるにはあと何年かかるか?などを簡単に計算することもできますよ!

ちなみに、自分で計算するのが面倒な方は以下の記事に「各年率ごとで資産が倍になるのに何年かかるか?」をまとめたので、そちらをご覧ください!(笑)
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